Планы-конспекты лекционных занятий

Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.

Теорема 3.

Пусть – четыре различные прямые пучка П(О), прямая не проходит через точку и – точки пересечения этой прямой с прямыми . Тогда сложное отношение не зависит от выбора прямой (оно называется сложным отношением четырех названных прямых).

Рис. 2

Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми в точках соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение по закону: . Так как это частный случай проективного отображения, то . Теорема доказана.

Следствие. Биекция :П()П() одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.

4. Сложное отношение точек заданных своими координатами на проективной плоскости

Как найти сложное отношение четырех точек прямой , зная их координаты , , , относительно репера на плоскости?

Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек . Для определенности будем считать, что (рис. 3).

Рис.3

Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(). Имеем:

. (5)

В репере на прямой имеем координаты точек:

.

Поэтому

и, учитывая равенство (5),

. (6)

Аналогичные выражения получим, если прямая не проходит через вершину или координатного треугольника, проектируя точки прямой на из или на и из .