Методические особенности изучения степенной функции

Степень с рациональным показателем является наиболее важным этапом изучения степенной функции , где x>0, α, и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры.

Подходы к изучению степенной функции в науке и в школьном курсе математике различны. Существуют различные способы определения степенной функции; наиболее распространенное и наиболее общее из них – аксиоматическое.

Определение. Степенной функцией называется любой непрерывный гамоморфизм группы R в себя, то есть любая функция f, отображающая множество в себя, обладающая свойствами:

1) для всех x, y

2) – непрерывна.

Для некоторых значений α степенная функция допускает продолжение на более широкую область определения, чем . Например, при на , кроме этого ; если же , где , то только на .

При α>0 можно доказать, что lim=0 при , поэтому, чтобы не нарушалась непрерывность функции , и в этомслучае полагают, что .

При нечетном и функция допускает естественное продолжение на всю числовую прямую; при четном n – это невозможно.

Равенство по сути задает функцию как функцию, обратную функции , поэтому функцию , например, можно считать определенной для всех , а функцию только для неотрицательных .

В общем виде на не накладывается никакие условия, поэтому функция считается определенной на множестве .

При изучении степенной функции в школьном курсе математики подходят совсем с других позиций: постепенно расширяются значения числа , причем рассматриваются не функции, например, , , а вводится понятие степени определенного вида.

Получаем следующую последовательность: степень с натуральным показателем (7 класс) – степень с нулевым и целым отрицательным показателем (7 класс) – степень с рациональным нецелым показателем (11 класс) – степень с иррациональным показателем (11 класс).

Основным мотивом введения показателей является выполнение свойств степеней.

, .

Такое расмотрение приводит к ограничениям на и . Подход достаточно естественный и мотивированный, но только до момента рассмотрения степени с рациональным показателем.

Введению степени с рациональным показателем в школьном курсе математики предшествует рассмотрение действий с корнями. Уже на этом этапе проявляются разногласия автором различных учебников и учебных пособий по математике. Большинство из них определяют корень n – ой степени из положительного числа для всех (например, «Математика в понятиях, определениях и терминах» из серии «библиотека учителя математики», учебники по математике К.О. Ананченко и др.). Авторы же учебного пособия по алгебре для 11 класса дают следующее определение.