Специфические приемы познавательной деятельности

Так, учащиеся III класса уверенно и быстро складывают многозначные числа столбиком, уверенно указывая, что писать под чертой, что «замечать» наверху. Но задайте вопрос: «А почему надо так делать? Может быть, лучше наоборот: замеченное записать под чертой, а записанное заметить?» Многие ученики теряются, не знают, что ответить. Это означает, что такие ученики выполняют арифметические действия успешно, но их математического смысла не понимают. Правильно производя сложение и вычитание, они не понимают принципов, лежащих в основе системы счисления и в основе выполняемых ими действий. Для того чтобы производить арифметические действия, надо прежде всего понять принципы построения системы счисления, в частности зависимость величины числа от его места в разрядной сетке.

Не менее важно научить учеников понимать, что число – это отношение, что числовая характеристика – результат сравнения интересующей величины с каким-то эталоном. Это означает, что одна и та же величина будет получать разную числовую характеристику при сравнении ее с разными эталонами: чем больше эталон, которым мы будем измерять, тем меньше будет число, и наоборот. Значит, не всегда 3 меньше 5. Это верно лишь в том случае, когда величины измерены одним и тем же эталоном (мерой). Для понимания этого необходимо научить школьников прежде всего выделять те стороны в объекте, которые в данном случае подлежат количественной оценке. Если на это не обратить внимания, то у детей сформируется неправильное представление о числе. Так, если показать учащимся I класса ручку и спросить: «Дети, скажите, это сколько?» – они обычно отвечают, что одна. Но ведь этот ответ верен только в том случае, когда за «эталон» берется отдельность. Если же за измеряемую величину взять длину ручки, то числовая характеристика может быть разной, она будет зависеть от выбранного для измерения эталона: см, мм, дм и т.д.

Следующее, что должны усвоить учащиеся: сравнивать, складывать, вычитать можно только измеренное одной и той же мерой. Если ученики это понимают, то они смогут и обосновать, почему при сложении столбиком одно записывается под чертой, а другое замечается над следующим разрядом: единицы остаются на своем месте, а образованный из них десяток должен суммироваться с десятками, поэтому его и «замечают» над десятками и т.д. Понимание этого обеспечивает полноценные действия и с дробями.

Если учащиеся с I класса усвоили, что действия можно производить только над числами, полученными при измерении одной и той же мерой, то они поймут, почему необходимо приведение к общему знаменателю: это фактически приведение к общей мере. В самом деле, когда мы складываем, допустим, ½ и ⅓, это означает, что в одном случае единицу разделили на 3 части и взяли одну из них, в другом – на две части и тоже взяли одну из них. Очевидно, что это разные «меры». Складывать их нельзя. Для сложения необходимо привести их к единой «мере» – к общему знаменателю.

Наконец, если учащиеся усвоят, что величины можно измерять различными мерами и поэтому их числовая характеристика может быть разной, то они не будут испытывать трудностей и при движении по разрядной сетке системы счисления: от единицы – к десяткам, от десятков – к сотням, тысячам и т.д. Для них это будет выступать всего лишь как переход к измерению все большими и большими мерами: измеряли единицами, а теперь меру увеличили в 10 раз, поэтому то, что обозначалось как 10, теперь стало обозначаться как 1. Собственно, только величиной меры и отличается один разряд системы счисления от другого. В самом деле, три плюс пять всегда будет восемь, но это может быть и восемь сотен, и восемь тысяч и т.д. То же самое и при десятичных дробях. Но в этом случае мы меру не увеличиваем в 10 раз, а уменьшаем, поэтому получаем три плюс пять тоже восемь, но уже десятых, сотых, тысячных и т.д.

Таким образом, если учащимся раскрыть все эти «секреты» математики, то они легко будут понимать и усваивать ее. Если же этого не сделать, то учащиеся будут брать памятью, будут механически производить различные арифметические действия, не понимая их сути и, следовательно, не развивая своего математического мышления. Таким образом, формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных способностей учащихся. Если этого нет, то усвоение знаний и умений оказывается формальным: учащиеся выполняют действия, совсем не понимая их специфического математического смысла.